Співвідношення в прямокутному трикутнику

Співвідношення в прямокутному трикутнику:

Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, відповідно пропорційні двом іншим сторонам.

Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним (або середнім геометричним) між гіпотенузою і проекцією цього катета на гіпотенузу. Тобто квадрат катета прямокутного трикутника дорівнює добутку гіпотенузи на проекцію цього катета на гіпотенузу.

Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним (середнім геометричним) між проекціями катетів на гіпотенузу, тобто квадрат висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи, дорівнює добутку проекцій катетів на гіпотенузу.



Властивість бісектриси трикутника

Властивість бісектриси трикутника

Трикутник є найпростішою геометричною фігурою, тому відомо багато теорем про його елементи, одним із яких є бісектриса.

Бісектриса трикутника — це відрізок бісектриси одного з кутів цього трикутника від вершини кута до точки перетину з протилежною стороною.

Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці — в центрі вписаного в трикутник кола.

Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам, а саме на відрізки, відношення яких дорівнює відповідно відношенню прилеглих до них двох інших сторін трикутника.

Або бісектриса трикутника розбиває деяку сторону на дві такі частини, що відношення однієї з них до прилеглої до неї сторони трикутника дорівнює відношенню другої частини до відповідно прилеглої до неї сторони трикутника.

Корисними при розв’язанні задач є властивості елементів прямокутного трикутника.

Як знайти висоту в прямокутному трикутнику

Інструкція

1. 
   Розглянемо прямокутний трикутник ABC, де ∠ ABC = 90 °. Опустимо з цього кута висоту h на гіпотенузу AC, точку перетину висоти з гіпотенузою позначимо D.
   
2. Трикутник ADB подібний трикутнику ABC з двох кутках: ∠ ABC = ∠ ADB = 90 °, ∠ BAD — загальний. З подоби трикутників отримуємо співвідношення сторін: AD / AB = BD / BC = AB / AC. Беремо перше і останнє співвідношення пропорції і отримуємо, що AD = AB ² / AC.
3. Оскільки трикутник ADB прямокутний, для нього справедлива теорема Піфагора: AB ² = AD ² + BD ². Підставляємо в це рівність AD. Виходить, що BD ² = AB ² — (AB ² / AC) ². Або, що те ж, BD ² = AB ² (AC ²-AB ²) / AC ². Так як трикутник ABC прямокутний, то AC ² — AB ² = BC ², тоді отримаємо BD ² = AB ² BC ² / AC ² або, витягуючи корінь з обох частин рівності, BD = AB * BC / AC.
4. З іншого боку, трикутник BDC також подібний трикутнику ABC з двох кутках: ∠ ABC = ∠ BDC = 90 °, ∠ DCB — загальний. З подоби цих трикутників отримуємо співвідношення сторін: BD / AB = DC / BC = BC / AC. З цієї пропорції висловлюємо DC через сторони початкового прямокутного трикутника. Для цього розглядаємо друга рівність в пропорції і отримуємо, що DC = BC ² / AC.
5. Зі співвідношення, отриманого в кроці 2, маємо, що AB ² = AD * AC. З кроку 4 маємо, що BC ² = DC * AC. Тоді BD ² = (AB * BC / AC) ² = AD * AC * DC * AC / AC ² = AD * DC. Таким чином, висота BD дорівнює кореню з добутку AD і DC або, як кажуть, середньому геометричному частин, на які ця висота розбиває гіпотенузу трикутника.